Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es bastante usada en ingeniería y física. es un operador lineal que sirve para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante este método se puede convertir una ecuación diferencial lineal en una algebraica, que a su vez, permite el desarrollo del útil concepto de funciones de transferencia. 

La transformada de Laplace se define como:


La intregral esta definida entre:0≤t<∞. 

La letra s representa una variable positiva , en el proceso de integración se considera constante.

La transformada de Laplace convierte una función en terminos de t en una función en terminos de s.

Propiedades

Linealidad

Como la transformada de Laplace en una transformada integral, esta cumple con propiedades de linealidad.

Derivación

Primera derivada

Segunda derivada

Integración

Función de trasferencia

Donde R(s) es la entrada del sistema, C(s) la salida y G(s) es la función de trasferencia.

Funciones mas comunes

Función escalón unitario

Esta funcion es un cambio subito de magnitud unitaria en un tiempo igual a cero

Impulso unitario

En una función que representa un pulso ideal de amplitud infinita y duración cero, cuya área es la unidad

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Teoremas

Teorema de la traslación real

Es un teorema que trabaja con la traslación de una función en el eje del tiempo

Fracciones Parciales

Fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Donde A(x) y B(x) son polinomios, pero el polinomio del denominador es de mayor grado que el del numerador (n>m)
Lo primero que se debe hacer es factorizar el denominador (B(x)), despues descomponer en fracciones parciales.

Se distinguen 4 casos para descomponer en fracciones parciales:

Caso 1: Factores lineales distintos. Ej:

Caso 2: Factores lineales repetidos.Ej:

Caso 3: Factores cuadráticos distintos.Ej:

Caso 4: Factores cuadráticos repetidos.Ej:

Luego necesitamos encontrar los valores de a , b, c,etc. Ej:

Linealización

Linealizacion de funciones

Una gran parte de la teoría desarrollada para el diseñno de sistemas de control emplea modelos matemáticos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sin embargo, la inmensa mayoría de sistemas en procesos químicos exhibe conducta no lineal. Ejemplo de sistema altamente no lineal lo constituye el campo de reactores químicos aún para reacciones muy simples.

Entonces planteamos la siguiente pregunta: Cómo podemos emplear teoría de control lineal para el control de sistemas no lineales ? Una forma simple de responder a esta pregunta es: empleando algúna de forma de transformar el sistema no lineal en uno lineal. De esta forma el modelo "linealizado" puede ser empleado para el diseño del sistema de control del modelo no lineal original.
Al analizar la respuesta dinámica de los procesos industriales, una de las mayores dificultades es el hecho de que no es lineal, es decir, no se puede representar mediante ecuaciones lineales. Para que una ecuación sea lineal, cada uno de sus términos no debe contener más de un variable o derivada y esta debe ser a la primera potencia.
Desafortunadamente, con la transformada de Laplace, únicamente se pueden analizar sistemas lineales. Mediante la linealización es posible aproximar las ecuaciones no lineales que representan un proceso a ecuaciones lineales que se pueden analizar mediante transformadas de Laplace. La suposición básica es que la respuesta de la aproximación lineal representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación, alrededor del cual se realiza la linealización

Considere la ecuación diferencial de primer orden

Donde f[x(t)] es una función no lineal de x, y k es una constante. La expansión por series de Taylor de f[x(t)], alrededor del valor "a", está dada por.

La aproximación lineal consiste en eliminar todos los términos de la serie, con excepción de los dos primeros:

En la figura se da la interpretación grafica de esta aproximación. La aproximación es una línea recta que pasa por el punto [x,f(a)], con pendiente df(a)/dx; esta aproximación lineal es, por definición tangente a la curva f(x) en “a”. Nótese que la diferencia entre la aproximación lineal y la función real es menor en las cercanías del punto de operación “a”, y mayor cuando se aleja de este.

Ejemplo de linealización

La ecuación diferencial que gobierna la oscilación del péndulo matemático es una ecuación diferencial no lineal, al linealizar la función seno, se convierte en una ecuación lineal.